Gradiente

En principio eso de que: los numeros obtenidos con las derivadas parciales "raramente" son componentes ..no es entendible.

Primero debes entender que las derivadas parciales miden "la razon de cambio" ( obviamente la pendiente de una tangente);, en direcciones paralelas a los ejes coordenados. ahora el objetivo es el estudio de la razon de cambio de la funcion en "cualquier direccion".

Esto conduce al concepto de derivada directora, que a su vez se relaciona con el gradiente.

Asi es que si F es una funcion de tres variables, diferenciable en un p=(x,y;z) entonces el gradiente es:

▼F(p) = ∂F/∂x (p) i + ∂F/∂y (p) j +∂Ff/∂z (p) k

Para obtener la derivada direccional bastara que cambiemos al vector posicion por un vector unitario arbritrario

Ahora sea U = u i +v j +w k un vector unitario cualquiera (recuerda esto para más adelante), donde sabiendo que F es diferenciable en p , la derivada directora de F en p , en la direccion del vector U es:

Du F(p) = U • ▼F(p) es decir

Du F(x,y,z) = u ∂F/∂x + v ∂F/∂y + w ∂Ff/∂z

Esta expresion nos da la derivada o razon de cambio de la funcion F, en la direccion arbitraria U.

Ahora para saber la máxima razon de cambio (que es lo que buscas), nos preguntamos ¿en que dirección cambia con mayor rapidez la función. Es decir, en que dirección es mayor Du F(p)

Si te acuerdas, el producto escalar de dos vectores A y B se puede escribir como A• B = |A||B| cos θ ; asi entonces escribimos que:

Du F(p) = U • ▼F(p) = |U| |▼F(p)| cos θ

como |U| = 1 ( era unitario, asi lo definimos antes)

Du F(p) = |▼F(p)| cos θ

donde θ es el ángulo que forman el vector U y el gradiente ▼F(p).

Entonces el máximo de Du F(p) ocurre cuando θ= 0 y el mínimo cuando θ = π.

Resumimos de la siguiente manera:

Una funcion aumenta con mayor rapidez en "p", en la dirección del gradiente (cuya razón es |▼F(p)| ) y disminuye con más rapidez en la direccion opuesta (con razón - |▼F(p)| )

Por eso

¿En que dirección debes moverte para ir por el lado más empinado de una cuesta y con que pendiente?

Respuesta:

En la direccion del gradiente ▼F(p)

y con pendiente |▼F(p)|

¿Y para donde para bajar por el lado mas rapido?

Respuesta:

En la direccion opuesta del gradiente ▼F(p)

y con pendiente - |▼F(p)|

Piensa asi... estas en un punto de la cuesta y mides una direccion ( el gradiente ) ubicas ahi tu escalera sobre la direccion y la subes .. sentiras la pendiente. Y si quieres bajar ..en la direccion opuesta al gradiente la pones y te deslizaras más rapido de bajada que en cualquier direccion (asi sentiras la pendiente)

Espero que no haya sido muy confusa la explicación; en todo caso cualquier texto de Calculo exite una demostración más detallada y quizás más técnica.