Un Preludio: Calculo Diferencial

El cálculo diferencial se consolidó como disciplina matemática principalmente en los siglos XVI y XVII cuando Kepler (1571-1630), Galileo (1564-1642) y Newton (1642-1727) entre otros, intentaron describir la velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento, aunque ya en la antigüedad griega Arquímedes había planteado la versión geométrica de ese problema de mecánica cual es el problema de la recta tangente a una curva en un punto. Mediante el uso de razones de cambio fue posible calcular velocidades y aceleraciones y definir la recta tangente a una curva pero también resolver problemas de tipo práctico como por ejemplo, determinar cuando dos planetas estarían mas cercanos o mas lejanos entre sí. Con el paso del tiempo las posibilidades de aplicación del cálculo se han ampliado.

Piezas escenciales
Tipo Material: Video


- Derivadas
- Aplicacion de la derivada
- Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
- Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
- Ecuaciones diferenciales parciales



Calculo: La derivada e integral

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales Primer Orden

Ecuaciones Diferenciales de Ordensuperior

En Calor: Calculo Integral

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, Descartes, Newton y Barrow, éste último fue el que junto con aportes de Newton, crearon el Teorema fundamental del cálculo integral que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Piezas Escenciales

- Integrales Indefinidas y Métodos de Integración
- Integral definida
- Aplicaciones de la integral
- Integrales Impropias
- Integrales Múltiples

Integrales Indefinidas

Integrales Impropias

Entrando al climax: Regla de l'Hôpital

En matemática, más específicamente en el cálculo infinitesimal, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli es utilizada para determinar límites que de otra manera sería complicado calcular. La regla dice que, dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas y derivables en x = c, si f(x) y g(x) tienden ambas a cero cuando x tiende a c, entonces el límite cuando x tiende a c del cociente de f(x) y g(x) es igual al límite cuando x tiende a c del cociente de las derivadas de f(x) y g(x), siempre que este límite exista (c puede ser finito o infinito).

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró

- Regla de l'Hôpital

Ejemplo:

Climax: Integrales Impropias

Una integral es impropia si:

- Uno o los dos límites de integración son infinito (impropia de 1ª especie)
- La función f(x) no está acotada en el intervalo [a,b] (impropia de 2ª especie)
- Estas integrales se resuelven utilizando límites y por lo tanto nos podemos encontrar dos situaciones:

1. Que el límite sea finito: entonces la integral es CONVERGENTE y su valor corresponde con el valor del límite (ejemplo superior).

2. Que el límite no exista o sea infinito: entonces la integral es DIVERGENTE y su valor queda indeterminado.

En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞.

Piezas Escenciales:

- Integrales Impropias de Primer Orden
- Integrales Impropias de Segundo Orden
- Integrales Impropias Mixtas

Integrales Impropias

Climax: Polinomios de Taylor y Maclaurin

 Como Habran observado que los polinomios de los momentos anteriores se aproximaban más a la función cuando más términos tenían.

Cabe entonces la siguiente pregunta: Si los polinomios contuvieran una infinidad de términos, ¿serían idénticos a la función en todo su dominio?

Dicho de otra manera, ¿podríamos representar a una función mediante una serie infinita de potencias de x o de (x-a)?

La respuesta es afirmativa para ciertas funciones, siempre y cuando x esté dentro de un cierto intervalo, llamado intervalo de convergencia de la serie.

Para taratar a profundidad:

- Series de Taylor
- Polinomios de Maclaurin

El punto: Derivadas Parciales

En las aplicaciones de las funciones de varias variables surge una pregunta: ¿Cómo será afectada la función por una variación de una de las variables independientes?. Podemos responder esta interrogante considerando cada vez una variable independiente. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento, un químico llevaría a cabo el experimento varias veces usando cantidades distintas de catalizador, pero manteniendo constantes otras variables, tales como la temperatura y la presión. Seguimos un procedimiento parecido para determinar la razón de cambio de una función f con respecto a una de sus variables independientes. Esto es, hacemos la derivada de f cada vez con respecto a una variable independiente, manteniendo constantes las demás. Este proceso se conoce como derivada parcial, y su resultado se refiere como la derivada parcial de f con respecto a la variable independiente elegida.

- Derivadas Parciales

Mas allá: Regla de la cadena

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones. Descripción de la regla: En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

- Regla de la Cadena

Usamos la regla de la cadena para derivar funciones complejas

Derivación Implicita

Es posible derivar una función dada implícitamente sin necesidad de expresarlo explícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. El procedimiento se conoce como derivación implícita. Definición: se denomina función implícita cuando se da una relación entre x y y por medio de una ecuación no resuelta para y, entonces y se llama función implícita de x. Por ejemplo: x 2 − 4 = 0 define a y como una función implícita de x. Es claro que por medio de esta ecuación x se define igualmente como función implícita de y.

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

* x'=1.
* En general y'≠1.
* Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

- Derivadas Implicitas

Derivada Direccional

En el Análisis matemático, la derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio (pendiente) de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes.

- Derivadas Direccionales

Gradiente

En principio eso de que: los numeros obtenidos con las derivadas parciales "raramente" son componentes ..no es entendible.

Primero debes entender que las derivadas parciales miden "la razon de cambio" ( obviamente la pendiente de una tangente);, en direcciones paralelas a los ejes coordenados. ahora el objetivo es el estudio de la razon de cambio de la funcion en "cualquier direccion".

Esto conduce al concepto de derivada directora, que a su vez se relaciona con el gradiente.

Asi es que si F es una funcion de tres variables, diferenciable en un p=(x,y;z) entonces el gradiente es:

▼F(p) = ∂F/∂x (p) i + ∂F/∂y (p) j +∂Ff/∂z (p) k

Para obtener la derivada direccional bastara que cambiemos al vector posicion por un vector unitario arbritrario

Ahora sea U = u i +v j +w k un vector unitario cualquiera (recuerda esto para más adelante), donde sabiendo que F es diferenciable en p , la derivada directora de F en p , en la direccion del vector U es:

Du F(p) = U • ▼F(p) es decir

Du F(x,y,z) = u ∂F/∂x + v ∂F/∂y + w ∂Ff/∂z

Esta expresion nos da la derivada o razon de cambio de la funcion F, en la direccion arbitraria U.

Ahora para saber la máxima razon de cambio (que es lo que buscas), nos preguntamos ¿en que dirección cambia con mayor rapidez la función. Es decir, en que dirección es mayor Du F(p)

Si te acuerdas, el producto escalar de dos vectores A y B se puede escribir como A• B = |A||B| cos θ ; asi entonces escribimos que:

Du F(p) = U • ▼F(p) = |U| |▼F(p)| cos θ

como |U| = 1 ( era unitario, asi lo definimos antes)

Du F(p) = |▼F(p)| cos θ

donde θ es el ángulo que forman el vector U y el gradiente ▼F(p).

Entonces el máximo de Du F(p) ocurre cuando θ= 0 y el mínimo cuando θ = π.

Resumimos de la siguiente manera:

Una funcion aumenta con mayor rapidez en "p", en la dirección del gradiente (cuya razón es |▼F(p)| ) y disminuye con más rapidez en la direccion opuesta (con razón - |▼F(p)| )

Por eso

¿En que dirección debes moverte para ir por el lado más empinado de una cuesta y con que pendiente?

Respuesta:

En la direccion del gradiente ▼F(p)

y con pendiente |▼F(p)|

¿Y para donde para bajar por el lado mas rapido?

Respuesta:

En la direccion opuesta del gradiente ▼F(p)

y con pendiente - |▼F(p)|

Piensa asi... estas en un punto de la cuesta y mides una direccion ( el gradiente ) ubicas ahi tu escalera sobre la direccion y la subes .. sentiras la pendiente. Y si quieres bajar ..en la direccion opuesta al gradiente la pones y te deslizaras más rapido de bajada que en cualquier direccion (asi sentiras la pendiente)

Espero que no haya sido muy confusa la explicación; en todo caso cualquier texto de Calculo exite una demostración más detallada y quizás más técnica.

Plano Tangente y Recta normal

Maximos y Minimos

El hecho de que la interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto determinado es muy útil para el trazado de las gráficas de funciones. Por ejemplo, cuando la derivada es cero para un valor dado de x (variable independiente) la tangente que pasa por dicho punto tiene pendiente cero y, por ende, es paralela al ejex. También, se pueden establecer los intervalos en los que la gráfica está sobre o debajo de la tangente...

Valor máximo relativo:

En la figura de la derecha (fig.1) se puede observar un ejemplo de una función que tiene un valor máximo relativo en c. Dicho valor es d y ocurre en c.

El valor máximo relativo de f en (a,b) es d.

Integrales Dobles y Triples

De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f (x, y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función f (x, y, z) definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.

La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El Dominio de Integración se representa simbólicamente para cada diferencial sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha

INTEGRALES DOBLES

INTEGRALES TRIPLES

Link

http://es.wikipedia.org

http://www.rincondelvago.com/